Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ no está definida.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.2.2

Como la función $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $3$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 2.1.1.2.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $3$ eliminado.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.2.2.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.2.3

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.3.2

Como la función $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $8$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $8$ eliminado.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Paso 2.1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.1.3.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Paso 2.1.1.3.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2.1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 3 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.4.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.5

Suma $0$ y $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 8 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

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Paso 2.1.3.8.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Paso 2.1.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 2.1.3.8.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 2.1.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 2.1.3.8.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 2.1.3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Paso 2.1.3.8.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Paso 2.1.3.8.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Paso 2.1.3.8.7

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Paso 2.1.3.9

Resta $24 e^{3 x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Paso 2.1.4

Reduce.

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común de $9$ y $- 24$ .

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Paso 2.1.4.1.1

Factoriza $3$ de $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Paso 2.1.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 24 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Paso 2.1.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Paso 2.1.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.4.2

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Paso 2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Paso 2.2

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1

Evalúa el límite de $\frac{3}{- 8}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{- 8}$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{8}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 3.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 3.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Paso 3.3.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Paso 3.3.3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Paso 3.4

Como el exponente $3 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Paso 3.5.1.2

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Paso 3.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Paso 3.5.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Asíntotas horizontales: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7