Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{5}}{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{5}}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{5}}{3} = x$ .

$\frac{y^{5}}{3} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{5} = 3 x$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{3 x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Paso 5.2.3

Combina $3$ y $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Paso 5.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.1

Reduce la expresión $\frac{3 x^{5}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Paso 5.2.4.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[5]{3 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x})}^{5}}{3}$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ como $3 x$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3}$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$