Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ no está definida.

$- 1 \leq x \leq 0$

Paso 2

Como $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Como $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 1, 0$

Paso 5

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Paso 5.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Paso 5.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Paso 5.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite.

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Paso 5.5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.5.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Paso 5.8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 5.9

Evalúa el límite.

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Paso 5.9.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 5.9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 5.9.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 5.9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Paso 5.9.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 5.9.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 5.9.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 5.10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Paso 5.11

Evalúa el límite.

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Paso 5.11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Paso 5.11.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.11.2.1

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 5.11.2.2

Suma $- 3$ y $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 5.11.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.11.2.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Paso 5.11.2.3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Paso 5.11.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 6

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Paso 6.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Paso 6.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Paso 6.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Paso 6.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.5

Evalúa el límite.

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Paso 6.5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.5.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.5.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.7

Evalúa el límite.

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Paso 6.7.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.7.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Paso 6.8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 6.9

Evalúa el límite.

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Paso 6.9.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 6.9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 6.9.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Paso 6.9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Paso 6.9.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Paso 6.9.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Paso 6.9.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Paso 6.10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Paso 6.11

Evalúa el límite.

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Paso 6.11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Paso 6.11.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.11.2.1

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Paso 6.11.2.2

Suma $- 3$ y $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Paso 6.11.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.11.2.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Paso 6.11.2.3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Paso 6.11.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.11.2.5

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$3$

Paso 7

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - 3, 3$

Paso 8

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1, 0$

Asíntotas horizontales: $y = - 3, 3$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 10