Precálculo Ejemplos

$w (x) = \frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x + 3 x^{4}$ .

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Paso 5.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $x$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 x^{3})}{x^{2}}$

Paso 5.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (3 x^{3})$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 3 x^{3}}{x}$

Paso 5.2

Reordena $1$ y $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 1}{x}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$0$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + 0$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$

Paso 5.8

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 5.9

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$3 x^{2} + \frac{1}{x}$

Paso 5.10

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$3 x^{2} + \frac{x}{x^{2}}$

Paso 5.11

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 3 x^{2}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 3 x^{2}$

Paso 7