Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 1

Evalúa el numerador en $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

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Paso 1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 1}$

Paso 1.2

Reemplaza los designadores de función en $f (x + h) - f (x)$ con las funciones reales.

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$

Paso 1.3

Simplifica $(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Paso 1.3.2

Para escribir $\frac{3}{x + h - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Paso 1.3.3

Para escribir $- \frac{3}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Paso 1.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h - 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $\frac{3}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}$

Paso 1.3.4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Factoriza $3$ de $3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)$ .

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Paso 1.3.6.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.1.2

Factoriza $3$ de $3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))$ .

$\frac{3 (x - 1 - (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x - 1 - x - h - - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x - 1 - x - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{3 (0 - 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{3 (- 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.6

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.7

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.8

Combina exponentes.

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Paso 1.3.6.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (3 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.6.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 2

Reescribe $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Paso 3

Simplifica $\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$ .

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Paso 3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ al numerador.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.2.2

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{(x + h - 1) (x - 1)}$