Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{| x | - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$| x | - x \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Escribe $| x | - x \geq 0$ como una función definida por partes.

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Paso 2.1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.1.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x - x \geq 0$

Paso 2.1.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.1.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x - x \geq 0$

Paso 2.1.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.1.6

Resta $x$ de $x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.1.7

Resta $x$ de $- x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.2

Resuelve $0 \geq 0$ cuando $x \geq 0$ .

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Paso 2.2.1

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 2.2.2

Obtén la intersección.

$x \geq 0$

Paso 2.3

Resuelve $- 2 x \geq 0$ cuando $x < 0$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 2 x \geq 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término de $- 2 x \geq 0$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$x \leq 0$

Paso 2.3.2

Obtén la intersección de $x \leq 0$ y $x < 0$ .

$x < 0$

Paso 2.4

Obtén la unión de las soluciones.

Todos los números reales

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{| x | - x} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{| x | - x}$ como ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$| x | - x = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| x | - x = 0$

Paso 4.3

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$| x | = x$

Paso 4.4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm x$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = x$

Paso 4.5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x = 0$

Paso 4.5.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Paso 4.5.3

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 4.5.4

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - x$

Paso 4.5.5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.5.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + x = 0$

Paso 4.5.5.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x = 0$

Paso 4.5.6

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.5.6.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.6.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 4.5.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x =, 0$

Paso 4.6

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sqrt{| x | - x} = 0$ y resolución.

$x = 0$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 6