Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ como una ecuación.

$y = 5 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 y^{\frac{1}{4}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ .

$5 y^{\frac{1}{4}} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 y^{\frac{1}{4}} = x$ por $5$ .

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y^{\frac{1}{4}}}{5} = \frac{x}{5}$

Paso 3.2.2.2

Divide $y^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x}{5}$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(\frac{x}{5})}^{4}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(\frac{x}{5})}^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5^{4}}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{625}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ es la inversa de $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{{(5 x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{5^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Paso 5.2.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{625}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Paso 5.2.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{625}$

Paso 5.2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Paso 5.2.3.4

Simplifica.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $625$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = \frac{625 x}{625}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{\frac{1}{4}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{4}}{625})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 {(\frac{x^{4}}{625})}^{\frac{1}{4}}$

Paso 5.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{4}}{625}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.4.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x^{4 (\frac{1}{4})}}{625^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.4.2

Simplifica.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{625^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.5.1

Reescribe $625$ como $5^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}}})$

Paso 5.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Paso 5.3.5.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.5.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5^{4 (\frac{1}{4})}})$

Paso 5.3.5.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.5.4

Evalúa el exponente.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = 5 (\frac{x}{5})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{4}}{625}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$ es la inversa de $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{625}$