Precálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4} (8 x - x^{2})$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (8 x - x^{2})$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{4} (8 x) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Paso 1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 x + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Paso 1.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$y = 2 x - \frac{x^{2}}{4}$

Paso 1.1.4

Reordena $2 x$ y $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2 x$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{4} + 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - (1 \cdot 4)$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- (1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.2.3.2.4.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - - 4$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$e = 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$ .

$- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} + 4$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 4)$

Paso 4