Precálculo Ejemplos

$y - 3 = {(2 - x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = {(2 - x)}^{2} + 3$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de ${(2 - x)}^{2} + 3$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(2 - x)}^{2}$ como $(2 - x) (2 - x)$ .

$(2 - x) (2 - x) + 3$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(2 - x) (2 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 - x) - x (2 - x) + 3$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x) + 3$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x - x (- x) + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2} + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2} + 3$

Paso 1.2.1.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$4 - 2 x - 2 x + x^{2} + 3$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 - 4 x + x^{2} + 3$

Paso 1.2.1.2

Suma $4$ y $3$ .

$- 4 x + x^{2} + 7$

Paso 1.2.1.3

Reordena $- 4 x$ y $x^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 7$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 7$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.4.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 7 - 4$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $4$ de $7$ .

$e = 3$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 2)}^{2} + 3$ .

${(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - 2)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Paso 4