Precálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Para escribir ${(x + 1)}^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}$

Paso 1.1.2

Combina ${(x + 1)}^{2}$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}$

Paso 1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25}{9}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x + 1) (x + 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot ((x (x + 1) + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + 2 x + 1) \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot (x^{2} \cdot 9 + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 1 \cdot 9 - 25)$

Paso 1.2.1.1.5.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

Paso 1.2.1.2

Resta $25$ de $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x - 16)$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4

Simplifica.

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Paso 1.2.1.4.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.1.4.1.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9} (9 (x^{2})) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.1.4.2.1

Factoriza $9$ de $18 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 2 x + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Paso 1.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{9}$ y $- 16$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{- 16}{9}$

Paso 1.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} + 2 x - \frac{16}{9}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{16}{9}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1$

Paso 1.2.5.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Paso 1.2.5.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Paso 1.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 16 - 1 \cdot 9}{9}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = \frac{- 16 - 9}{9}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Resta $9$ de $- 16$ .

$e = \frac{- 25}{9}$

Paso 1.2.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{25}{9}$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$ .

${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - \frac{25}{9}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{25}{9})$

Paso 4