Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x - 2}{x - 3} + \frac{\sqrt{16 - x^{2}} - 4}{2 - | x - 3 |}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{16 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$16 - x^{2} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 16$

Paso 2.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Paso 2.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica $\sqrt{16}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Paso 2.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 4 |$

Paso 2.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$| x | \leq 4$

Paso 2.5

Escribe $| x | \leq 4$ como una función definida por partes.

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Paso 2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 4$

Paso 2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 4$

Paso 2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.6

Obtén la intersección de $x \leq 4$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Paso 2.7

Resuelve $- x \leq 4$ cuando $x < 0$ .

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Paso 2.7.1

Divide cada término en $- x \leq 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 2.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 2.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Paso 2.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.7.1.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Paso 2.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - 4$ y $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Paso 2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- 4 \leq x \leq 4$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x - 2}{x - 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 3 = 0$

Paso 4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{16 - x^{2}} - 4}{2 - | x - 3 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - | x - 3 | = 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- | x - 3 | = - 2$

Paso 6.2

Divide cada término en $- | x - 3 | = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- | x - 3 | = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $| x - 3 |$ por $1$ .

$| x - 3 | = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$| x - 3 | = 2$

Paso 6.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm 2$

Paso 6.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 3 = 2$

Paso 6.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2 + 3$

Paso 6.4.2.2

Suma $2$ y $3$ .

$x = 5$

Paso 6.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 3 = - 2$

Paso 6.4.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 2 + 3$

Paso 6.4.4.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$x = 1$

Paso 6.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5, 1$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4, 1) \cup (1, 3) \cup (3, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4, x \neq 1, 3}$

Paso 8