Precálculo Ejemplos

$r (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$ no está definida.

$x = 4$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 4 x}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x (x^{2} - 3 x - 4)}{x - 4}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 6.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 4) (x + 1))}{x - 4}$

$\frac{x (x - 4) (x + 1)}{x - 4}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 4) (x + 1)}{x - 4}$

Paso 6.1.2.1.2

Divide $x (x + 1)$ por $1$ .

$x (x + 1)$

Paso 6.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1$

Paso 6.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1$

Paso 6.1.2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{2} + x$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{2} + x$

Paso 8