Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{y} = 5 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y = {(5 x)}^{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(5 x)}^{2}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$y = 5^{2} x^{2}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = 25 x^{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

Paso 5.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Paso 5.2.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Paso 5.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (25 x^{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (25 x^{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$