Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = 4 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{4} = 4 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{3}} = 4 x$

Paso 3.4

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.1.1.2

Simplifica.

$y = {(4 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(4 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$y = 4^{3} x^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$y = 64 x^{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4})}^{3}$

Paso 5.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Paso 5.2.4.2

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.5.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{64})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = 64 (\frac{x}{64})$

Paso 5.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (64 x^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{{(64 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $64 x^{3}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{64^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{4^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{3}) = \frac{4^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.5

Evalúa el exponente.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{4}$

Paso 5.3.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x^{3 (\frac{1}{3})}}{4}$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x^{3 (\frac{1}{3})}}{4}$

Paso 5.3.3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.3.7

Simplifica.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (64 x^{3}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (64 x^{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3}$