Precálculo Ejemplos

$f_{(x)} = \frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$ no está definida.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 5.1.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$\frac{- x^{2} + (1 - 4) x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + x) - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 1) + 4 (- x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.5.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.2

Expande $- (x - 1) (x + 4)$ .

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Paso 5.2.1

Haz que $x - 1$ sea negativo.

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x (x + 4) + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.6

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.7

Factoriza el negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.12

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.14

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.16

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.2.17

Suma $- 4 x$ y $x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$3 x$

$4$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				-	$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - \frac{x}{2}$ .

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{5 x}{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{5 x}{2} - \frac{5}{4}$ .

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$
							+	$\frac{21}{4}$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{2} - \frac{5}{4} + \frac{21}{4 (2 x + 1)}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{1}{2}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Paso 7