Precálculo Ejemplos

$G (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ no está definida.

$x = 0, x = 1$

Paso 2

Como $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} - x}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x - x}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1)}{x}$

Paso 6.2

Expande $(x^{2} + 1) (x + 1)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)}{x}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)}{x}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.4

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.7

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.8

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x}$

Paso 6.2.10

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$

Paso 6.13

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Paso 6.14

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Paso 6.15

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$0$

Paso 6.16

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 0$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$

Paso 6.17

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$
									+	$1$

Paso 6.18

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x}$

Paso 6.19

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$x^{2} + x + 1 + \frac{x - 1}{x^{2} - x}$

Paso 6.20

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{2} + x + 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{2} + x + 1$

Paso 8