Precálculo Ejemplos

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Paso 1.1.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Paso 1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Paso 1.1.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.2

Suma $- x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Paso 1.2.1.3

Suma $- 12 x$ y $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Paso 1.2.1.4

Resta $25$ de $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Multiplica $2^{2}$ por $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.1.6.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.5.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5.2.2

Para escribir $- 13$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5.2.3

Combina $- 13$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 1.2.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.5.1

Multiplica $- 13$ por $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Resta $1$ de $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Paso 1.2.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{27}{2}$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Paso 4