Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} - 2 y^{2} = 12$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $12$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{3 x^{2}}{12} - \frac{2 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 + 6^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 + 6}$

Paso 5.3.3

Suma $4$ y $6$ .

$\sqrt{10}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{10}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {\sqrt{6}}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 + 6^{1}}}{2}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 + 6}}{2}$

Paso 8.3.3

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6^{1}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $6$ y $10$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{10}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{2 (5)}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$

Paso 11

Simplifica $\frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $\frac{\sqrt{6}}{2} x$ y $0$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{2} x$

Paso 11.2

Combina $\frac{\sqrt{6}}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2}$

Paso 12

Simplifica $- \frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- \frac{\sqrt{6}}{2} x$ y $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{2} x$

Paso 12.2

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2}, y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(2, 0), (- 2, 0)$

Focos: $(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{6} x}{2}$ , $y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Paso 15