Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

Paso 1

Establece el argumento en $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{- 1} - 2 > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{x} > 2$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Paso 2.4.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 2 x$

Paso 2.5

Resuelve $x$

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $2 x = 1$ .

$2 x = 1$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el dominio de $x^{- 1} - 2$ .

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Paso 2.6.1

Establece la base en $x^{- 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.6.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

Paso 2.8.1.3

$- 2.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

Paso 2.8.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

Paso 2.8.3.3

$- 1.\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Paso 3

Establece la base en $x^{- 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \frac{1}{2})$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

Paso 5