Precálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x^{2} - 9 x + 6}{5 x - 10}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{2} - 9 x + 6}{5 x - 10}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 9 x + 6$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 9 x + 6}{5 x - 10}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 9 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 3 x) + 6}{5 x - 10}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 2}{5 x - 10}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3 x) + 3 \cdot 2}{5 x - 10}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 3 x) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{5 x - 10}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 6.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 ((x - 2) (x - 1))}{5 x - 10}$

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 x - 10}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x - 10$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x) - 10}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 x + 5 \cdot - 2}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $5$ de $5 x + 5 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x - 2)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x - 2)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x - 1)}{5}$

Paso 6.2

Expande $3 (x - 1)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1}{5}$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3}{5}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5$

$3 x$

$3$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5$ .

			$\frac{3 x}{5}$
	$5$		$3 x$	-	$3$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	+	$3 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x$ .

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$
		$0$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$
		$0$	-	$3$

Paso 6.9

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{3 x}{5} - \frac{3}{5}$

Paso 6.10

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{3 x}{5}$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{3 x}{5}$

Paso 8