Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ no está definida.

$x = 0, x = 2$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la derecha, entonces $x = 2$ es una asíntota vertical.

$x = 2$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 6.1.2.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) - 6 x}$

Paso 6.1.2.1.2

Factoriza $3 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) + 3 x (- 2)}$

Paso 6.1.2.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Paso 6.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.4

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.11

Suma $- 1 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.2.12

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 (x - 2)}$

Paso 6.3

Expande $3 (x - 2)$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 3 \cdot - 2}$

Paso 6.3.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 6}$

Paso 6.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 6.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Paso 6.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 6.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 2 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 6.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Paso 6.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Paso 6.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Paso 6.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$4$

Paso 6.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 4$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$

Paso 6.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Paso 6.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{3 x - 6}$

Paso 6.15

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3 x}{3 x^{2} - 6 x}$

Paso 6.16

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 8