Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{x} + 7$ como una ecuación.

$y = \sqrt{x} + 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y} + 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y} + 7 = x$ .

$\sqrt{y} + 7 = x$

Paso 3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x - 7$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 7)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 7)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 7)}^{2}$ como $(x - 7) (x - 7)$ .

$y = (x - 7) (x - 7)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 7) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x - 7) - 7 (x - 7)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$y = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $7 x$ de $- 7 x$ .

$y = x^{2} - 14 x + 49$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} + 7$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{x} + 7)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {(\sqrt{x} + 7)}^{2} - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(\sqrt{x} + 7)}^{2}$ como $(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = (\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.2

Expande $(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 7) + 7 (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 7 \cdot \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.4

Multiplica $7$ por $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 7 \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 49 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $7 \sqrt{x}$ y $7 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 14 \cdot 7 + 49$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 14$ por $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 98 + 49$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 98 + 49$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $14 \sqrt{x}$ de $14 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 49 - 98 + 49$

Paso 5.2.4.2

Resta $98$ de $49$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x - 49 + 49$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 49 + 49$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 49$ y $49$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 14 x + 49)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 49} + 7$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 49} + 7$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.4.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 7^{2}} + 7$

Paso 5.3.4.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 5.3.4.1.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}} + 7$

Paso 5.3.4.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{{(x - 7)}^{2}} + 7$

Paso 5.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x - 7 + 7$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 7 + 7$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} + 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$