Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2}}{2 - x}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Reordena $2$ y $- x$ .

$\frac{x^{2}}{- x + 2}$

Paso 5.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 5.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 5.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$x$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 2 x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$x$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$

Paso 5.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				-	$x$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$	+	$0$

Paso 5.8

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $- x$ .

				-	$x$	-	$2$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$	+	$0$

Paso 5.9

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$x$	-	$2$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$	+	$0$
						+	$2 x$	-	$4$

Paso 5.10

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 4$ .

				-	$x$	-	$2$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$	+	$0$
						-	$2 x$	+	$4$

Paso 5.11

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$x$	-	$2$
-	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$2 x$
						+	$2 x$	+	$0$
						-	$2 x$	+	$4$
								+	$4$

Paso 5.12

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- x - 2 + \frac{4}{- x + 2}$

Paso 5.13

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - x - 2$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - x - 2$

Paso 7