Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{6 + x - x^{2}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{6 + x - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$6 + x - x^{2} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$6 + x - x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 1$ de $6 + x - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve $6$ .

$x - x^{2} + 6 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Paso 2.2.1.4

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Paso 2.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$6 - 4 - {(- 4)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$- 14$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$6 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$6 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq 3$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, 3]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 3}$

Paso 4