Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ como una ecuación.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(7 + x)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(7 + x)}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Reescribe ${(7 + x)}^{2}$ como $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

Paso 3.4.2.1.2

Expande $(7 + x) (7 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Paso 3.4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Paso 3.4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Paso 3.4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Paso 3.4.2.1.3.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Paso 3.4.2.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Suma $7 x$ y $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Paso 3.5

Simplifica $49 + 14 x + x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Paso 3.5.2

Reordena $14 x$ y $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.2

Expande $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.2

Simplifica $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.3

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.3.2

Resta $7 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $14$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Suma $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ y $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Paso 5.2.4.2

Resta $98$ de $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 49 + 49$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 49$ y $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} + 14 x + 49)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 5.3.3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 5.3.3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Paso 5.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Paso 5.3.3.4

Simplifica.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$