Precálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$ no está definida.

$x = - 7$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 12 x}{x + 7}$

Paso 5.1.2

Factoriza $4 x$ de $12 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (3)}{x + 7}$

Paso 5.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (x + 3)}{x + 7}$

Paso 5.2

Expande $4 x (x + 3)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 3}{x + 7}$

Paso 5.2.2

Mueve $x$ .

$\frac{4 x \cdot x + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Paso 5.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Paso 5.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Paso 5.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Paso 5.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Paso 5.2.7

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$7$

$4 x^{2}$

$12 x$

$0$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} + 28 x$ .

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					-	$16 x$	-	$112$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 16 x - 112$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$
							+	$112$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$4 x - 16 + \frac{112}{x + 7}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 4 x - 16$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 7$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 4 x - 16$

Paso 7