Precálculo Ejemplos

$4 + 9 + 14 + \dots + 64$

Paso 1

Esta es una progresión aritmética porque hay una diferencia en común entre cada término. En este caso, sumar $5$ al término anterior en la progresión da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Progresión aritmética: $d = 5$

Paso 2

Usa la fórmula de una progresión aritmética $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ para obtener el número de términos, $n$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y la diferencia entre los términos en la fórmula.

$64 = 4 + 5 (n - 1)$

Paso 2.2

Resuelve $n$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $4 + 5 (n - 1) = 64$ .

$4 + 5 (n - 1) = 64$

Paso 2.2.2

Simplifica $4 + 5 (n - 1)$ .

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 + 5 n + 5 \cdot - 1 = 64$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$4 + 5 n - 5 = 64$

Paso 2.2.2.2

Resta $5$ de $4$ .

$5 n - 1 = 64$

Paso 2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 n = 64 + 1$

Paso 2.2.3.2

Suma $64$ y $1$ .

$5 n = 65$

Paso 2.2.4

Divide cada término en $5 n = 65$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Divide cada término en $5 n = 65$ por $5$ .

$\frac{5 n}{5} = \frac{65}{5}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 n}{5} = \frac{65}{5}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{65}{5}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.3.1

Divide $65$ por $5$ .

$n = 13$

Paso 3

Usa la fórmula de la suma de una progresión aritmética $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ para obtener la suma.

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Paso 3.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y el número de términos en la fórmula de suma.

$S_{n} = \frac{13}{2} (4 + 64)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Suma $4$ y $64$ .

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot 68$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $68$ .

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot (2 (34))$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot 34)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = 13 \cdot 34$

Paso 3.2.3

Multiplica $13$ por $34$ .

$S_{n} = 442$