Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, 2$

Paso 2.8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = 3, 2$

Paso 2.9

Consolida las soluciones.

$x = 1, 3, 2$

Paso 2.10

Obtén el dominio de $\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

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Paso 2.10.1

Establece el denominador en $\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Paso 2.10.2

Resuelve $x$

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Paso 2.10.2.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.10.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 2.10.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 2.10.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.10.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.10.2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.10.2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.10.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.10.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.10.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.10.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, 2$

Paso 2.10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} \geq 0$

Paso 2.12.1.3

$- 0.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{(1.5) - 1}{{(1.5)}^{2} - 5 \cdot 1.5 + 6} \geq 0$

Paso 2.12.2.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

$\frac{(2.5) - 1}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} \geq 0$

Paso 2.12.3.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) - 1}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} \geq 0$

Paso 2.12.4.3

$0.41\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 2.13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 \leq x < 2$ o $x > 3$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, 2$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[1, 2) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 1 \leq x < 2, x > 3}$

Paso 6