Precálculo Ejemplos

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{1}{3}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{1}{3}$

Paso 2

Usa la fórmula de una progresión geométrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ para obtener el número de términos, $n$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y la razón entre los términos en la fórmula.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Paso 2.2

Resuelve $n$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Paso 2.2.2

Simplifica $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Paso 2.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Paso 2.2.2.2

Combina $81$ y $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Paso 2.2.3

Multiplica ambos lados por $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.1.1

Cancela el factor común de $3^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.2.1

Combina $\frac{1}{81}$ y $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Paso 2.2.5

Resuelve $n$

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Paso 2.2.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Paso 2.2.5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Paso 2.2.5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.2.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.3.1.1

Cancela el factor común de $81$ .

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Paso 2.2.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Paso 2.2.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Paso 2.2.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.3.2.1

Multiplica $81$ por $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Paso 2.2.5.4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Paso 2.2.5.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$n - 1 = 8$

Paso 2.2.5.6

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.5.6.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$n = 8 + 1$

Paso 2.2.5.6.2

Suma $8$ y $1$ .

$n = 9$

Paso 3

Usa la fórmula de la suma de una progresión geométrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ para obtener la suma.

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Paso 3.1

Sustituye los valores del primer término, la razón y el número de términos en la fórmula de suma.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.7.2

Resta $19683$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9

Combina exponentes.

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Paso 3.2.1.9.1

Factoriza el negativo.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9.2

Combina $81$ y $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.9.3

Multiplica $81$ por $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10

Cancela el factor común de $1594242$ y $19683$ .

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Paso 3.2.1.10.1

Factoriza $81$ de $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.10.2.1

Factoriza $81$ de $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.1.10.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.2.2.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 3.2.2.4.2

Resta $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Paso 3.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.2.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $2$ de $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 3.2.5.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.6.1

Factoriza $3$ de $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Paso 3.2.6.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Paso 3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$