Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ como una ecuación.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

Paso 3.2.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

Paso 3.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

Paso 3.4.1.1.2

Simplifica.

$y = {(9 + x)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(9 + x)}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.3

Multiplica $3$ por $81$ .

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.4.2.1.2.4

Multiplica $3$ por $9$ .

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

Paso 3.5

Simplifica $729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve $729$ .

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

Paso 3.5.2

Mueve $243 x$ .

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

Paso 3.5.3

Reordena $27 x^{2}$ y $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.2

Simplifica.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.4

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.5

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.6

Multiplica $81$ por $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.2.7

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.4

Expande $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.5.2

Resta $9 x^{\frac{1}{3}}$ de $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.7

Simplifica.

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Paso 5.2.3.7.1

Multiplica $- 18$ por $27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.7.2

Multiplica $27$ por $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

Paso 5.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $243$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Suma $- 27 x^{\frac{2}{3}}$ y $27 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

Paso 5.2.4.1.3

Resta $2187$ de $2187$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

Paso 5.2.4.1.5

Suma $- 729$ y $729$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.2

Resta $486 x^{\frac{1}{3}}$ de $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 243 x^{\frac{1}{3}}$ y $243 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$