Precálculo Ejemplos

$10 + 5 x = - {(1 - y)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Divide $- 10$ por $5$ .

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} - 2$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(1 - y)}^{2}$ como $(1 - y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{5} \cdot ((1 - y) (1 - y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(1 - y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 (1 - y) - y (1 - y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - y (- y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.5.1

Mueve $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + 1 y^{2}) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.1.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + y^{2}) - 2$

Paso 1.2.1.1.3.2

Resta $y$ de $- y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - 2 y + y^{2}) - 2$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2

Multiplica $- \frac{1}{5} (- 2 y)$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $y$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - 2$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 2 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 10}{5}$

Paso 1.2.1.5.2

Resta $10$ de $- 1$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 11}{5}$

Paso 1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{11}{5}$

Paso 1.2.1.7

Reordena $\frac{2 y}{5}$ y $- \frac{y^{2}}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{11}{5}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{2}{5}$

$c = - \frac{11}{5}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{1}{5 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = \frac{1}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 5}{5}}$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.4.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} (- \frac{5}{4}))$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{25} \cdot - 5)$

Paso 1.2.5.2.1.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.1.6.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 (5)} \cdot - 5)$

Paso 1.2.5.2.1.6.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1)$

Paso 1.2.5.2.1.7

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{- 1}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{11}{5} - - \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.9

Multiplica $- - \frac{1}{5}$ .

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Paso 1.2.5.2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Paso 1.2.5.2.1.9.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$e = - \frac{11}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 11 + 1}{5}$

Paso 1.2.5.2.3

Suma $- 11$ y $1$ .

$e = \frac{- 10}{5}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 10$ por $5$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 4