Precálculo Ejemplos

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 1.2

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(1 - x)}^{3}$ .

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de ${(1 - x)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.5.2

Divide $6 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Cancela el factor común de ${(1 - x)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de ${(1 - x)}^{3}$ y ${(1 - x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.2.1

Factoriza ${(1 - x)}^{2}$ de $(B) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.2.2.4

Divide $B (1 - x)$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.4

Multiplica $B$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Paso 1.6.6

Cancela el factor común de ${(1 - x)}^{3}$ y $1 - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.6.1

Factoriza $1 - x$ de $(C) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

Paso 1.6.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.6.2.1

Multiplica por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Paso 1.6.6.2.2

Cancela el factor común.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Paso 1.6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

Paso 1.6.6.2.4

Divide $C {(1 - x)}^{2}$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

Paso 1.6.7

Reescribe ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

Paso 1.6.8

Expande $(1 - x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

Paso 1.6.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

Paso 1.6.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Paso 1.6.9

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.9.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Paso 1.6.9.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

Paso 1.6.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

Paso 1.6.9.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Paso 1.6.9.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.9.1.5.1

Mueve $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Paso 1.6.9.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Paso 1.6.9.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

Paso 1.6.9.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

Paso 1.6.9.2

Resta $x$ de $- x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

Paso 1.6.10

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

Paso 1.6.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.11.1

Multiplica $C$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

Paso 1.6.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Mueve $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

Paso 1.7.2

Mueve $C$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

Paso 1.7.3

Mueve $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

Paso 1.7.4

Mueve $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

Paso 1.7.5

Mueve $- 2 C x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

Paso 1.7.6

Reordena $- x B$ y $C x^{2}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = C$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 8 = - 1 B - 2 C$

Paso 2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = A + B + C$

Paso 2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $C = 6$ .

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $6$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 8 = - 1 B - 2 C$ por $6$ .

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $3 = A + B + C$ por $6$ .

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Elimina los paréntesis.

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 8 = - B - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B - 12 = - 8$ .

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 8$ y $12$ .

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- B = 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- B = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 4$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $3 = A + B + 6$ por $- 4$ .

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.4.2

Simplifica $3 = A - 4 + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Suma $- 4$ y $6$ .

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.5

Resuelve $A$ en $3 = A + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 = 3$ .

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.5.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

Paso 3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 1 B = - 4 C = 6$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 4, C = 6$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$