Precálculo Ejemplos

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

Paso 1

Esta es una progresión aritmética porque hay una diferencia en común entre cada término. En este caso, sumar $2$ al término anterior en la progresión da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Progresión aritmética: $d = 2$

Paso 2

Usa la fórmula de una progresión aritmética $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ para obtener el número de términos, $n$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y la diferencia entre los términos en la fórmula.

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

Paso 2.2

Resuelve $n$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $1 + 2 (n - 1) = 101$ .

$1 + 2 (n - 1) = 101$

Paso 2.2.2

Simplifica $1 + 2 (n - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 + 2 n - 2 = 101$

Paso 2.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 n - 1 = 101$

Paso 2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 n = 101 + 1$

Paso 2.2.3.2

Suma $101$ y $1$ .

$2 n = 102$

Paso 2.2.4

Divide cada término en $2 n = 102$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Divide cada término en $2 n = 102$ por $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{102}{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.3.1

Divide $102$ por $2$ .

$n = 51$

Paso 3

Usa la fórmula de la suma de una progresión aritmética $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ para obtener la suma.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye los valores del primer término, el último término y el número de términos en la fórmula de suma.

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Suma $1$ y $101$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $102$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$S_{n} = 51 \cdot 51$

Paso 3.2.3

Multiplica $51$ por $51$ .

$S_{n} = 2601$