Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x^{2} + 5 x - 12}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x^{2} + 5 x - 12 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$2 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $5$ como $- 3$ más $8$

$2 x^{2} + (- 3 + 8) x - 12 = 0$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 8 x - 12 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 3 x) + 8 x - 12 = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, - 4$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 12 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$30$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} + 5 (4) - 12 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$40$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 4$ o $x \geq \frac{3}{2}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 4, x \geq \frac{3}{2}}$

Paso 4