Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{x} + 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y} + 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y} + 5 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 5 = x$

Paso 3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{y} = x - 5$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 5)}^{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 5)}^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $25$ por $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.5

Multiplica $25$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.2.6

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2}$ como $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ((\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.4

Expande $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 5) + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.5.1.1

Multiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.2.3.5.1.1.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.1.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.5.2

Suma $5 \sqrt[3]{x}$ y $5 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 (10 \sqrt[3]{x}) - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.7

Simplifica.

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Paso 5.2.3.7.1

Multiplica $10$ por $- 15$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.7.2

Multiplica $- 15$ por $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Paso 5.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 5 - 125$

Paso 5.2.3.9

Multiplica $75$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Paso 5.2.4.1.3

Suma $- 375$ y $375$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Paso 5.2.4.1.5

Resta $125$ de $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 0 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 75 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.2

Resta $150 \sqrt[3]{x}$ de $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 75 \sqrt[3]{x}$ y $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) - 1 \cdot 5^{3}} + 5$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $x^{3} - 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x - 1 \cdot 5^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Paso 5.3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x - 5 + 5$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$