Precálculo Ejemplos

$\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$ no está definida.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 2

Como $\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ desde la izquierda y $\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 3

Como $\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ desde la izquierda y $\frac{4 x^{4}}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ desde la derecha, entonces $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

Paso 8.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{4} + 0 - 6 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

Paso 8.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

Paso 8.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

$0 x$

$0$

$6 x^{2}$

$0$

$9$

Paso 8.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} + 0 - 9$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

$0 x$

$0$

$6 x^{2}$

$0$

$9$

Paso 8.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{4}$

$0$

$6 x^{2}$

$0 x$

$0$

$6 x^{2}$

$0$

$9$

Paso 8.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x^{2} + 3 + \frac{9}{2 x^{2} - 3}$

Paso 8.12

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 2 x^{2} + 3$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 2 x^{2} + 3$

Paso 10