Precálculo Ejemplos

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $889$ a ambos lados de la ecuación.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $11 x^{2} + 22 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $22$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{11}{11}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{11}{11}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $22$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $484$ por $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$e = 0 - 11$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $11$ de $0$ .

$e = - 11$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Paso 1.3

Sustituye $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ por $11 x^{2} + 22 x$ en la ecuación $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Paso 1.4

Mueve $- 11$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $11$ a ambos lados.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 25 y^{2} + 250 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $250$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{125}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $125$ y $- 25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = - 5$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $250$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $62500$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $625$ .

$e = 625$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Paso 1.6

Sustituye $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ por $- 25 y^{2} + 250 y$ en la ecuación $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Paso 1.7

Mueve $625$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $625$ a ambos lados.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Paso 1.8

Simplifica $889 + 11 - 625$ .

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Paso 1.8.1

Suma $889$ y $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Paso 1.8.2

Resta $625$ de $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Paso 1.9

Divide cada término por $275$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 5)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 + 11}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Suma $25$ y $11$ .

$\sqrt{36}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$6$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, 5)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 6, 5)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, 5)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 7, 5)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Paso 8.3.3

Suma $25$ y $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Paso 8.3.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Paso 8.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6}{5}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Paso 9.3

Reescribe ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Paso 9.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 9.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{11^{1}}{6}$

Paso 9.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{11}{6}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{\sqrt{11}}{5}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{5}$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Paso 12.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 1, 5)$

Vértices: $(4, 5), (- 6, 5)$

Focos: $(5, 5), (- 7, 5)$

Excentricidad: $\frac{6}{5}$

Parámetro focal: $\frac{11}{6}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Paso 15