Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Paso 3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $3^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

Paso 3.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.4

Como el exponente $2 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{2 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 2}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.5

Evalúa el límite.

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{0 + 2}{0 + 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.2.1

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{0 + 1}$

Paso 3.5.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 3.5.2.3

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 2$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 2$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7