Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ no está definida.

$x = - 1$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

Paso 5.1.2

Factoriza $3$ de $3 x + 3$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2

Expande $x (x + 2)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2.2

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 5.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Paso 5.3

Expande $3 (x + 1)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

Paso 5.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 7