Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$ no está definida.

$x = - \frac{5}{3}$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 45 = 135$ y cuya suma es $b = 32$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $32$ de $32 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 45}{6 x + 10}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe $32$ como $5$ más $27$

$\frac{3 x^{2} + (5 + 27) x + 45}{6 x + 10}$

Paso 6.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 x + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + 5 x) + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Paso 6.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 5) + 9 (3 x + 5)}{6 x + 10}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{6 x + 10}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $6 x + 10$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 10}$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 2 (5)}$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (5)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $3 x + 5$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 9}{2}$

Paso 6.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2$

$x$

$9$

Paso 6.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $2$ .

			$\frac{x}{2}$
	$2$		$x$	+	$9$

Paso 6.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	+	$x$

Paso 6.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x$ .

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$

Paso 6.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$

Paso 6.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$	+	$9$

Paso 6.8

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 6.9

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{x}{2}$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{x}{2}$

Paso 8