Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ no está definida.

$x = - 2, x = 4$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $x = - 2$ es una asíntota vertical.

$x = - 2$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 8 x}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 6.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 6.1.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 4) (x - 2))}{x^{2} - 2 x - 8}$

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 6.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 2)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x + 2)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x - 2)}{x + 2}$

Paso 6.2

Expande $x (x - 2)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{x + 2}$

Paso 6.2.2

Reordena $x$ y $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Paso 6.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Paso 6.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{x + 2}$

Paso 6.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x}{x + 2}$

Paso 6.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 2}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	-	$8$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x - 8$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	+	$8$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$8$

Paso 6.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 4 + \frac{8}{x + 2}$

Paso 6.14

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$x - 4 + \frac{8 x - 32}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 6.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 4$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 4$

Paso 8