Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.2

Multiplica cada término en $x - \frac{4}{x} \geq 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.2.1

Multiplica cada término en $x - \frac{4}{x} \geq 0$ por $x$ .

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Paso 2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{x}$ al numerador.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Paso 2.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Paso 2.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$x^{2} - 4 \geq 0$

Paso 2.3

Resuelve la desigualdad.

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Paso 2.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} \geq 4$

Paso 2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Paso 2.3.3

Simplifica la ecuación.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.1

Simplifica $\sqrt{4}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \geq | 2 |$

Paso 2.3.3.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | \geq 2$

Paso 2.3.4

Escribe $| x | \geq 2$ como una función definida por partes.

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Paso 2.3.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 2.3.4.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \geq 2$

Paso 2.3.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 2.3.4.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \geq 2$

Paso 2.3.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Paso 2.3.5

Obtén la intersección de $x \geq 2$ y $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Paso 2.3.6

Divide cada término en $- x \geq 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Divide cada término de $- x \geq 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.3.6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Paso 2.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.6.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x \leq - 2$

Paso 2.3.7

Obtén la unión de las soluciones.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{4}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Paso 5