Precálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ como una ecuación.

$y = \sqrt[4]{x} + 6$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[4]{y} + 6$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[4]{y} + 6 = x$ .

$\sqrt[4]{y} + 6 = x$

Paso 3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[4]{y} = x - 6$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x - 6)}^{4}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 6)}^{4}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 6 + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 36 + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $36$ por $6$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2.5

Multiplica $- 216$ por $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + {(- 6)}^{4}$

Paso 3.4.3.1.2.6

Eleva $- 6$ a la potencia de $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.1.5

Simplifica.

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ como $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.4

Multiplica $6$ por $6^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.2.4.1

Mueve $6^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2} \cdot (6 {\sqrt[4]{x}}^{2}) + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.4.2

Multiplica $6^{2}$ por $6$ .

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Paso 5.2.3.2.4.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.3.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2 + 1} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{3} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.2.6.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.2.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.6.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.7

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 216 + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.8

Multiplica $216$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.2.9

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.3

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.4.1

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ como $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.2.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 36 + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.5

Multiplica $36$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.4.6

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 216) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 24 (18 \sqrt{x}) - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.6

Simplifica.

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Paso 5.2.3.6.1

Multiplica $18$ por $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.6.2

Multiplica $108$ por $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.6.3

Multiplica $- 24$ por $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.7

Reescribe ${(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2}$ como $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ((\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.8

Expande $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 6) + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 5.2.3.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.9.1.1

Multiplica $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

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Paso 5.2.3.9.1.1.1

Eleva $\sqrt[4]{x}$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.3.9.1.1.2

Eleva $\sqrt[4]{x}$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.3.9.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2

Reescribe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

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Paso 5.2.3.9.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.9.1.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.2.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.1.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.9.2

Suma $6 \sqrt[4]{x}$ y $6 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 12 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 216 (12 \sqrt[4]{x}) + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.11

Simplifica.

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Paso 5.2.3.11.1

Multiplica $12$ por $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Paso 5.2.3.11.2

Multiplica $216$ por $36$ .

Paso 5.2.3.12

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 5.2.3.13

Multiplica $- 864$ por $6$ .

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ de $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0 + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.1.3

Suma $- 2592 \sqrt[4]{x}$ y $2592 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} + 0 - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.1.4

Suma $x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.1.5

Resta $864 \sqrt[4]{x}$ de $864 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 0 + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.1.6

Suma $x + 216 \sqrt{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.2

Resta $432 \sqrt{x}$ de $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Suma $- 216 \sqrt{x}$ y $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 + 0 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x + 1296$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.4.4.1

Resta $5184$ de $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 3888 + 7776 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.4.2

Suma $- 3888$ y $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 3888 - 5184 + 1296$

Paso 5.2.4.4.3

Resta $5184$ de $3888$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 1296 + 1296$

Paso 5.2.4.5

Combina los términos opuestos en $x - 1296 + 1296$ .

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Paso 5.2.4.5.1

Suma $- 1296$ y $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0$

Paso 5.2.4.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (6^{2} x^{2}) - 4 \cdot (6^{3} x) + 6^{4}} + 6$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $x^{4} - 4 \cdot 6 x^{3} + 6 \cdot 6^{2} x^{2} - 4 \cdot 6^{3} x + 6^{4}$ mediante el teorema del binomio.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{{(6 - x)}^{4}} + 6$

Paso 5.3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = 6 - x + 6$

Paso 5.3.5

Suma $6$ y $6$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = - x + 12$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$