Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$ no está definida.

$x = - 2$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 5.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 5.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{- 4 x - 8}$

Paso 5.1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x - 8$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) - 8}$

Paso 5.1.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) + 4 (- 2)}$

Paso 5.1.2.1.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x - 2)}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 2)}$

Paso 5.1.2.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 1 (2))}$

Paso 5.1.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x + 2))}$

Paso 5.1.2.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.1.2.5.1

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- 1 (x + 2))}$

Paso 5.1.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2

Expande $- (x - 2) (x + 3)$ .

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Paso 5.2.1

Haz que $x - 2$ sea negativo.

$\frac{- (x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(- x + 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x (x + 3) + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.6

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.7

Factoriza el negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.14

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.15

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 6}{4 (x + 2)}$

Paso 5.2.16

Suma $- 3 x$ y $2 x$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 (x + 2)}$

Paso 5.3

Expande $4 (x + 2)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 4 \cdot 2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 8}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$6$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					+	$x$	+	$2$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 2$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$
							+	$4$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4 x + 8}$

Paso 5.15

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4}{- 4 x - 8}$

Paso 5.16

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 7