Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x - 3}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- x^{2} + 2 x + 15 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 2 x + 15$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Paso 2.2.1.3

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 3$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$x > 5$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$- {(- 6)}^{2} + 2 (- 6) + 15 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$- 33$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- {(0)}^{2} + 2 (0) + 15 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$- {(8)}^{2} + 2 (8) + 15 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$- 33$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 \leq x \leq 5$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x - 3}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x^{2} + 2 x + 15}$ como ${(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- x^{2} + 2 x + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- x^{2} + 2 x + 15)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 2 x + 15$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Paso 4.3.1.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Paso 4.3.1.1.3

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 4.3.1.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Paso 4.3.1.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 4.3.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 4.3.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 4.3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.3.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.3.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 3$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 3, 5)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 3 < x < 5}$

Paso 6