Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 7}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 7}{7}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 7}{7}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 7}{7} = x$ .

$\frac{y - 7}{7} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{y - 7}{7} = 7 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{y - 7}{7} = 7 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 7 = 7 x$

Paso 3.4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7 x + 7$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 7 x + 7$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 7 x + 7$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x - 7}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = 7 (\frac{x - 7}{7}) + 7$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = 7 (\frac{x - 7}{7}) + 7$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x - 7 + 7$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 7 + 7$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (7 x + 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (7 x + 7) = \frac{(7 x + 7) - 7}{7}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $(7 x + 7) - 7$ y $7$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x) + 7 - 7}{7}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x) + 7 \cdot 1 - 7}{7}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $7$ de $7 (x) + 7 (1)$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1) - 7}{7}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1) + 7 \cdot - 1}{7}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $7$ de $7 (x + 1) + 7 (- 1)$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7}$

Paso 5.3.3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7 (1)}$

Paso 5.3.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7 \cdot 1}$

Paso 5.3.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (7 x + 7) = \frac{x + 1 - 1}{1}$

Paso 5.3.3.6.4

Divide $x + 1 - 1$ por $1$ .

$f (7 x + 7) = x + 1 - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (7 x + 7) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (7 x + 7) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 7 x + 7$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x + 7$