Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 2}$

Paso 6.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Paso 6.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2

Expande $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.6

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.7

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.8

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.9

Elimina los paréntesis.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.10

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.13

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.14

Factoriza el negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.19

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.20

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.21

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.22

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.23

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.24

Mueve $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.25

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.26

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.27

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.2.28

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$2 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 + 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

Paso 6.8

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

+

$1$

Paso 6.9

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + \frac{- 2 x + 1}{x^{2} + 2}$

Paso 6.10

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x$

$y = x$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x$

Paso 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$