Precálculo Ejemplos

$g (t) = - {(t - 1)}^{2} + 5$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = t + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $t$ con $t + h$ en la expresión.

$g (t + h) = - {((t + h) - 1)}^{2} + 5$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(t + h - 1)}^{2}$ como $(t + h - 1) (t + h - 1)$ .

$g (t + h) = - ((t + h - 1) (t + h - 1)) + 5$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(t + h - 1) (t + h - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$g (t + h) = - (t \cdot t + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - 1 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.4

Multiplica $h$ por $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - 1 \cdot h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.6

Reescribe $- 1 h$ como $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.7

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.8

Reescribe $- 1 h$ como $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h - 1 \cdot - 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.4

Suma $t h$ y $h t$ .

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Paso 2.1.2.1.4.1

Reordena $t$ y $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + h t + h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.4.2

Suma $h t$ y $h t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.5

Resta $t$ de $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - h - 2 t - h + 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.6

Resta $h$ de $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - 2 h - 2 t + 1) + 5$

Paso 2.1.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$g (t + h) = - t^{2} - (2 h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Paso 2.1.2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Paso 2.1.2.1.8.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Paso 2.1.2.1.8.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 \cdot 1 + 5$

Paso 2.1.2.1.8.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

Paso 2.1.2.2

Suma $- 1$ y $5$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$ .

$- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $- t^{2}$ .

$- 2 h t - h^{2} - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Paso 2.2.2

Reordena $- 2 h t$ y $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - (- t^{2} + 2 t + 4)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - - t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- - t^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + 1 t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 1 \cdot 4}{h}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 4}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $- t^{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 + 0 - 2 t - 4}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- h^{2}$ y $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 - 2 t - 4}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $2 t$ de $2 t$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- h^{2}$ y $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 4 - 4}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ y $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $h$ de $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h t + 2 h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $h$ de $- 2 h t$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + 2 h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $h$ de $2 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (- h) + h (- 2 t)$ .

$\frac{h (- h - 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (- h - 2 t) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- h - 2 t + 2$ por $1$ .

$- h - 2 t + 2$

Paso 4.2.2

Reordena $- h$ y $- 2 t$ .

$- 2 t - h + 2$

Paso 5