Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 5 x + 12 y = - 16$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x + 12 y = - 16 - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $12 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Paso 1.1.2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Paso 1.1.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$ .

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Paso 1.2.1

Mueve $\frac{16}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5} + \frac{16}{5}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = \frac{16}{5}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{6}{5 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Paso 1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{1}$

Paso 1.2.4.2.6

Divide $6$ por $1$ .

$d = 6$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{12}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $144$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{16}{5} - \frac{36}{5}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{16 - 36}{5}$

Paso 1.2.5.2.3

Resta $36$ de $16$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 20$ por $5$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y + 6)}^{2} - 4$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = - 6$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 6)$

Paso 4