Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$ no está definida.

$x = 2$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{- 4 x + 8}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{- 4 x + 8}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{- 4 x + 8}$

Paso 5.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 8}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 4 (2)}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x + 2)}$

Paso 5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) + 2)}$

Paso 5.1.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) - 1 (- 2))}$

Paso 5.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x - 2))}$

Paso 5.1.6

Reescribe los negativos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- 1 (x - 2))}$

Paso 5.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2

Expande $- x (x + 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Haz que $x$ sea negativo.

$\frac{- x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 2}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.3

Mueve $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.4

Factoriza el negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Paso 5.2.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 (x - 2)}$

Paso 5.3

Expande $4 (x - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x + 4 \cdot - 2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x - 8}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	+	$8$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x + 8$ .

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$8$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{x}{4} - 1 - \frac{8}{4 x - 8}$

Paso 5.15

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- \frac{x}{4} - 1 + \frac{8}{- 4 x + 8}$

Paso 5.16

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{x}{4} - 1$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{x}{4} - 1$

Paso 7